Dünaamika on mehaanika haru, mis tegeleb liikumise põhjuste selgitamisega – kuidas liikumine tekib ning kuidas see erinevate mõjude tagajärjel muutub.

Kulgliikumise dünaamika. Newtoni seadused

Keha liikumisoleku muutumist kirjeldavad kolm loodusseadust – Newtoni seadust:

(I) Iga keha säilitab oma oleku kas paigalseisu või ühtlase sirgjoonelise liikumise kujul seni, kuni temale rakenduvad jõud seda olekut ei muuda.

(II) Liikumishulga muutus on võrdeline kehale mõjuva jõuga ning toimub samas suunas mõjuva jõuga.

(III) Jõud esinevad ainult paariti: iga mõjuga kaasneb alati niisama suur, kuid vastassuunaline vastumõju.

Newtoni I seadus

Newtoni I seadus on untud ka kui inertsiseadus, mis sätestab, et keha seisab paigal või liigub ühtlaselt sirgjooneliselt kui talle ei mõju teised kehad või kui nende kehade mõjud kompenseeruvad.

Videos on näha kuidas mõjutab inertsus inimkeha käitumist liiklusõnnetuses ja kuidas kõige hullemat ära hoida.

Inerts on keha võime säilitada oma liikumisolekut, vastavat omadust, mida tavaliselt ise­loo­mus­tatakse keha massi abil, aga inertsuseks.

Igasugune liikumine (ka paigalolek) on suhtelised ning sõltub taustsüsteemi valikust – ühes taust­süs­tee­mis võib keha seista taustkeha suhtes paigal, teises liikuda ühtlaselt, kolmandas aga hoopis mitteühtlaselt.

Inertsiaalsetes taustsüsteemides pole ühegi mehaanikakatsega võimalik kindlaks teha, kas süsteem seisab paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt. Aga kuidas siis liikumine kindlaks teha?

Selliseid taustsüsteeme, mille suhtes kulgevalt liikuvad kehad säilitavad oma kiiruse jäävana kui neile ei mõju teised kehad või kui nende kehade mõjud kompenseeruvad (so puuduvad süsteemivälised jõud!), nimetatakse inertsiaalseteks taustsüsteemideks.

Liikumishulk (impulss)

Newton võttis keha liikumisoleku kirjeldamiseks kasutusele mõiste liikumishulk (kasutatakse ka mõistet impulss):

kus p – liikumishulk, m – keha mass; v – keha kiirus (m/s)

Liikumishulga ühik:

[p]=[m]∙[v] = 1 kg ∙ 1 m/s = 1 (kg∙m)/s = 1 kg∙m∙s^-1

Loe: kilogramm korda meetrit-sekundis.

Mass

Keha mass on füüsikaline suurus, mis klassikalises mehaanikas iseloomustab keha omadust säilitada tema liikumsiolekut vastastikmõjus teiste kehadega, seepärast öeldakse ka, et keha mass on keha inertsuse mõõduks.

Keha massi iseloomustatakse ka kehas sisalduva ainekoguse kaudu.

Füüsikalist suurust, mis iseloomustab ühikulise ruumalaga keha massi, nimetatakse keha tiheduseks:

kus ρ – keha tihedus; m – keha mass; V – keha ruumala

Newtoni II seadus. Jõud

Keha kiirus muutub, kui temale mõjuvad teised kehad. Jõud on füüsikaline suurus, mis ise­loo­mus­tab keha liikumisoleku muutust ajas:

kus Δp=p₂-p₁=m(v₂-v₁) – on keha liikumisoleku muutus kus p₁ – algne liikumishulk, p₂ – muu­tunud liikumishulk  ja m – keha mass, v₁– keha algkiirus; v₂ – keha lõppkiirus; Δt – keha liiku­misoleku muu­tu­miseks kulunud ajavahemik.

ehk Newtoni II seaduse on võimalik valemina kirja panna ka kujul

Siiski oleks füüsikaliselt korrektsem kirjutada Newtoni II seaduse avaldis hoopis kujul:

sest kehale mõjuv jõud põhjustab liikumise muutust (kiirendust), mitte vastupidi.

Lihtne kuid ilmekas selgitus Newtoni II seaduse toimimise kohta

Newtoni III seadus

Newtoni III seaduse kohaselt mõjutavad kaks teineteist alati jõududega, mis on suuruselt võrdsed ja suunalt vastupidised ehk valemina:

Tähistades jõu, millega I keha mõjutab II F21:  – ning jõu, millega II keha mõjutab I: F12 , saame Newtoni III seadusele anda kuju:

Kehade vahel mõjuvad jõud on alati samasuguse olemusega (näiteks mõlemad on elektrilised jõud või mõlemad on gravitatsioonilised jõud jne)

Kui kaks keha on teineteisega vastastikmõjus, siis muutuvad selle tulemusel mõlema keha liikumis­hulgad. Seega saame kirjeldada liikumishulka (impulssi) kui suurust, mis näitab keha võimet muuta teiste kehade kiirust.

Sageli väljendatakse kehadevahelist vastastikmõju moodulvõrrandina – see on võrrandina, kus ei arvestata jõudude suunaga.

Esimesele kehale mõjuv jõud F₁₂=m₁a₁, teisele kehale mõjuv jõud F₂₁=m₂a₂. Tulenevalt Newtoni III seadusest on nende jõudude moodulid võrdsed

m₁a₁= m₂a₂

ehk

vastastikmõju tagajärjel muutub suurema keha kiirus vähem (kiirendus on väiksem) kui väiksema massiga kehal (kiirendus on suurem) – kehade kiirendused on pöördvõrdelised kehade massidega.

Kokkupõrkel autoga rongi kiirus praktiliselt ei muutu, küll aga auto oma. Miks?

Olgu mainitud veel, et Newtoni III seadus kehtib ainult inertsiaalsetes taustsüsteemides!

Jõudude vektoriaalne liitmine. Resultantjõud.

Kui keha on samaaegselt vastastikmõjus mitme kehaga, siis võrdub tema liikumise kiirendus nende kehade poolt põhjustatud kiirenduste, millega keha liiguks teiste kehade mõjude puudumisel, vektorsummaga – seega kui kehale mõjub samaaegselt mitu jõudu, tuleb need jõud liita omavahel nagu vektorid.

Kehale mõjuvate jõudude vektorsummat nimetatakse nende jõudude resultandiks ehk resul­tantjõuks

Kui kehale mõjuvad jõud on samasuunalised, siis nende mõjud liituvad – resultantjõu moodul on võrdne komponentide moodulite summaga.

Kuna liidetavad vektorid on samasuunalised, siis on loomulikult ka resultantjõu suund sama.

Kui kehale mõjuvad jõud on vastassuunalised, siis nende mõjud nõrgendavad teineteist – resultantjõu moodul on võrdne komponentide moodulite vahega.

Kui resultantjõu mooduli väärtus on negatiivne, tuleb seda tõlgendada kui asjaolu, et resultantjõu suund langeb kokku teise liidetava suunaga (F2), kui positiivne, on resultantjõu suund sama kui esimesel liidetaval (F1).

Kui kehale mõjuvad jõud on teineteisega risti, saab resultantjõu mooduli leidmiseks kasutada Phyta­go­ra­se seadust:

Risti asetsevate jõudude resultantjõu suuna saame mää­rata tangensi (vastas­kaatet jagatud lähiskaa­te­ti­ga) pöördfunktsiooni abil.

kus α on nurk resultantvektori ning esimese liidetava vahel.

Kui liituvad jõud asuvad suvalise nurga all, tuleb nende liitmiseks lahutada jõud komponentideks ning liita omavahel vastavad komponendid.

Keskkonna takistusjõu tekkemehhanism

Kehad ei ole vastastikmõjus ainult omavahel vaid ka ümbritseva keskkonnaga. Seega mõjutab keskkond temas asuvaid (liikuvaid) kehi takistusjõuga, mis avaldab mõju kehade liikumisele.

Takistusjõu tekkimist saame seletada asjaoluga, et koos kehaga hakkavad liikuma ka keha läheduses asetsevad keskkonna osakesed (veemolekulid, gaasimolekulid), need panevad liikuma oma naabrid jne – nii kandub osa keha liikumishulgast (impulsist) üle ümbritsevale keskkonnale.

Keskkonna poolt selles liikuvale kehale mõjuv takistusjõud on võrdne kehalt keskkonnale üle kantava liikumishulga (impulsi) kiirusega.

Gravitatsioonijõud. Gravitatsiooniseadus.

Gravitatsiooniline vastastikmõju esineb kõikide massi omavate osakeste (vahel) ning avaldub alati kehade vahelise tõmbumisena.

Kahe keha vahel mõjuv gravitatsioonijõud on võrdeline kehade massidega ning ruut­pöörd­võr­de­line kehade vahelise kaugusega (Newtoni gravitatsiooniseadus)

kus F – kehade vaheline gravitatsioonijõud; m₁ ja m₂ – kehade massid; r – kehade vaheline kaugus; G=6,6720∙10^-11 N∙m²∙ kg^-2 – gravitatsioonikonstant.

Gravitatsioonijõud on makromaailmas üpriski tühine – kahe 1kg massiga teineteisest 1m kaugusel asuva keha vahel mõjub gravitatsioonijõud 6,67∙10^-11N ≈ 70 pN, mistõttu võib selle jõu enamikul juhtudel jätta arvesse võtmata.

Raske ja inertne mass

Mehaanikas on suurusel „mass“ kaks olemuslikku tähendust.

Ühest küljest on keha mass füüsikaliseks suuruseks, mis iseloomustab keha inertsust. Mida suurem on keha mass, seda raskem on tema liikumisolekut muuta. Massi taolist avaldumisvormi nimetatakse inertseks massiks.

Teisest küljest on keha mass suurus, mis iseloomustab keha võimet asuda teiste massi omavate kehadega gravitatsioonilisse vastastikmõjusse – mida suurem on keha mass, seda ägedam on gravitatsiooniline vastastikmõju. Massi taolist avaldumisvormi nimetatakse raskeks massiks.

Ehkki gravitatsioon ja inerts pole omavahel kuidagi seotud käsitletakse klassikalises füüsikas (aga ka kaasaegses (üld)relatiivsusteoorias) et need kaks massi avaldumisvormi on teineteisega sama­väärsed ning puudub vajadus määratleda kas räägitakse inertsest või raskest massist.

Raskusjõud. Vaba langemise kiirendus

Raskusjõud on gravitatsioonilise vastastikmõju avaldumisvorm, kus üheks graviteeruvaks kehaks on Maa (või mõni teine planeet või taevakeha).

Maa poolt kehale massiga m avaldatava raskusjõu arvutamiseks on tarvis teada: Maa massi (M = 5,9736×10²⁴kg ≈ 6,0×10²⁴ kg), Maa raadiust (R = 6372,795km ≈ 6400 km = 6,4∙10⁶m) ning keha kaugust Maapinnast  h

Kehale mõjuva raskusjõu saame arvutada Newtoni ülemaailmsest gravitatsiooniseadusest:

Maapinnal (ja selle lähedal) loeme kõrguse maapinnast võrdseks nulliga (h=0):

Arvutame kolmest konstandist koosneva kordaja g ligikaudse väärtuse ja ühiku:

g = (6,7∙10^-11 N∙m²∙ kg^-2)∙(6,0∙10²⁴kg)/( 6,4∙10⁶m)² ≈ 9,81 N/kg = 9,81 m/s²

Seega raskusjõud Maapinnal (ja selle lähedal) avaldub valemist:

F = gm

kus F – raskusjõud, g=9,81ms^-2 – vaba langemise kiirendus maapinnal, m – keha mass

Kui keha on maapinnast kõrgusel h, leitakse vaba langemise kiirendus valemist:

kus g – vaba langemise kiirendus, G=6,6720∙10^-11 N∙m²∙ kg^-2 – gravitatsioonikonstant,  M – Maa (aga selle võib asendada mistahes teise taevakehaga) mass (M = 5,9736×10²⁴kg ≈ 6,0×10²⁴ kg), R – Maa (teise taevakeha) raadius (R = 6372,795km ≈ 6400 km = 6,4∙10⁶m) ning h – keha kaugus Maapinnast

Seega liigub keha Maal (või mõnel teisel taevakehal) vaba langemise kiirendusega kui sellele kehale ei mõju ühtegi teist jõudu peale raskusjõu. Vaba langemise kiirendus on suunatud alati ja igal pool Maa keskpunkti suunas. Lokaalselt vaba langemise kiirenduse suunda kirjeldades võime öelda, et see on suunaga maapinna poole ehk alla.

Keha kaal. Kaalutus

Jõudu, millega keha mõjutab alust millel ta lebab või riputusvahendit, mille külge on ta kinnitatud, nimetatakse keha kaaluks.

Keha kaal on oma olemuselt elastsusjõud, mis tekib aluses või riputusvahendis

Kui keha seisab paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt, on keha poolt alusele (riputusvahendile) avaldatav jõud – normaalkaal – võrdne kehale mõjuva raskusjõuga:

W = mg

kus W – keha kaal, m – keha mass, g – vaba langemise kiirendus

Vertikaalsihilise kiirendusega liikuvale alusel lebavale kehale mõjuvad järgmised jõud: raskusjõud (Fr) ning aluse toereaktsioonjõud (N)

Kehale mõjuv resultantjõud (mis annab kehale kiirenduse)  avaldub nende jõudude summana:

Keha kaal (jõud, millega keha mõjub alusele), on tulenevalt Newtoni III seadusest toereaktsiooniga võrdse suurusega, kuid vastassuunaline. Seega,  

Nii avaldub kiirendusega liikuva keha kaal valemist:

Kui keha liigub vertikaalsihilise kiirendusega, mis on vastassuunaline (suunaga üles) vaba langemise kiirendusele, siis leitakse keha kaal valemiga:

W = m(g+a)

kus W – keha kaal, m – keha mass, g – vaba langemise kiirendus, a – keha vertikaalsihilise liikumise kiirendus.

Taoliselt liikuva keha kaal on suurem kui paigal seisval (ühtlaselt liikuval) kehal ning öeldakse, et tegemist on ülekoormusega.

Kui keha liigub vertikaalsihilise kiirendusega, mis on samasuunaline (suunaga alla) vaba langemise kiirendusega, siis leitakse keha kaal valemiga:

W = m(g-a)

kus W – keha kaal, m – keha mass, g – vaba langemise kiirendus, a – keha vertikaalsihilise liikumise kiirendus.

Taoliselt liikuva keha kaal on väiksem kui paigal seisval (ühtlaselt liikuval) kehal ning öeldakse, et tegemist on alakoormusega.

Kui keha liigub vertikaalsihilise kiirendusega, mis on võrdne vaba langemise kiirendusega (keha langeb vabalt!), on sellise keha kaal võrdne nulliga ning keha vastavat olekut nimetatakse kaaluta olekuks.

Kuhu kaob lennukis lendavate inimeste kaal?

Rõhumisjõud. Toereaktsioon. Rõhk

Rõhumisjõuks nimetatakse jõudu, millega üks keha mõjutab teist risti kokkupuutepinnaga.

Jõudu, millega teine keha tulenevalt Newtoni III seadusest rõhumisjõu tõttu vastu mõjutab, nimetatakse aga toeraektsiooniks. Seega tekivad rõhumisjõud ja toereaktsioon alati paaris ning on seetõttu ühe­su­guse olemusega.

Rõhk on füüsikaline suurus, mis iseloomustab rõhumisjõu mõju pinnaühiku kohta:

p=F/S

kus p – rõhk, F – rõhumisjõud ja S – (kehade kokkupuute) pindala.

Rõhu ühikuks on 1 paskal (1 Pa)  1Pa=1N/1m2.

Deformatsioon. Deformatsiooni liigid. Elastsusjõud

Liikumisi, mille korral muutuvad keha punktide omavahelised kaugused, nimetatakse keha kuju muutumiseks ehk deformatsiooniks.

Deformatsioon tekib reeglina nii, et  keha mingi(te)le osadele rakendatakse jõudu. Jõudu, mis tekib deformeeritud kehas ning mis püüab taastada esialgset olekut, nimetatakse elastsusjõuks.

Elastusjõud on oma olemuselt elektromagnetilise iseloomuga. Jõu tekkimine on selgitatav keha koos­tis­osa­keste (molekulid, aatomid) vastastikkusest nihkumisest tulevate elektriliste tõmbe- ja tõukejõudude muutumisega.

Kui jõud rakendub risti pinnaga, millele ta mõjub, siis on tegemist kas surve (A) või venitusega (B). Kui jõud rakendub samas tasandis pinnaga, milles jõud mõjub, siis tekib deformatsioon, mida nimetatakse nihkeks. (C)

Kui kehale rakendub jõud, mis on risti mingisuguse uuritavat keha läbiva teljega, siis toimub keha eri osade pöördumine ümber selle telje erinevate nurkade võrra ning tekkivat de­for­mat­siooni nimetatakse väändeks.

Kui jõud rakendub mitte ühtlaselt kogu pinnale vaid ainult selle ühele osale, siis tekib kõverdus.

Kuju muutumise erijuhuks on keha mahu muutumine. Kui keha paisub või tõmbub kokku kõikides suundades ühtviisi, siis jääb selle kuju varasemate kujudega sarnaseks

Kui välisjõu mõju lõppemisel keha esialgne kuju taastub, siis nimetatakse deformatsiooni elastseks. Kui välisjõu mõju lõppemisel keha esialgne kuju ei taastu, siis plastseks.

Plastne deformatsioon

Hooke’i seadus. Jäikustegur

Hooke’i seaduse kohaselt on kehas (tõmbe- või survedeformatsioonil) tekkiv elastsusjõud on võrdeline keha deformatsiooniga so keha joonmõõtmete muutusega:

F=-kΔl

kus F – kehas survel/tõmbel tekkiv elastsusjõud; k – keha jäikustegur (jäikus) ning Δl – keha joonmõõtmete muutus ehk deformatsioon. NB! Valemis olev „-“ näitab, et elastsusjõu suund on vastupidine deformatsiooni suunaga – kui joonmõõdud vähenevad, püüab elastsusjõud neid suurendada ja vastupidi.

Hooke’i seadus kehtib vaid olukorras, kus deformatsioon on absoluutselt elastne ning keha kuju taastub peale deformeeriva jõu mõju lõppemist täielikult – see tähendab väga väikeste deformat­sioonide korral.

Keha jäikustegur ehk jäikus iseloomustab jõudu, mis on vajalik rakendada kehale, et muuta tema pikkust ühe pikkusühiku võrra. Tavaliselt kasutatakse jäikuse ühikuna 1 N/m (njuutonit meetri kohta). Kui soovime keha, mille jäikustegur on võrdne 1 N/m venitada või kokku suruda 1m võrra, peame sellele rakendama jõudu 1N.

Hõõrdejõud ja hõõrdetegur

Kui kaks keha on kokkupuutes ning nad püüavad teineteise suhtes liikuda, tekib nende vahel hõõrdejõud, mis takistab nende kehade liikumist.

Ka hõõrdejõud on elektromagnetilise olemusega – kokku puutuvate kehade koostisosakesed (mole­kulid, aatomid) mõjutavad teineteist elektomagnetiliste jõududega.

Hõõrdejõudu on kolme liiki: (1) seisuhõõrdejõud – mõjub kehade vahel, mis küll soovivad teineteise suhtes liikuma hakata, kuid veel ei liigu ning (2) liugehõõrdejõud – mõjub kehade vahel, mis libisevad mööda nende kokkupuutepinda ning (3) veerehõõrdejõud – mõjub kehade vahel kui kehad veerevad teineteise pinnal.

Hõõrdejõud on alati kehade vahelise kokkupuutepinna sihiline ning tema suund on keha liigutavale jõule vastupidises suunas.

Hõõrdejõud on võrdeline toereaktsiooni jõuga:

F=µN

kus F – hõõrdejõud, μ – hõõrdetegur ja N – toereaktsioonjõud.

Kehade vahel mõjuva hõõrdejõu suurus sõltub: (1) kehade vahelisest rõhumisjõust (mis on sama suur kui toereaktsioonijõud, kuid sellega vastassuunaline); (2) kokku puutuvate kehade materjalidest ning (3) kokku puutuvate pindade töötlusest. Samuti sõltub hõõrdejõu suurus kehade liikumise olemusest –  veeremise puhul on hõõrdejõud väiksem kui libisemisel.

Seega kui soovime muuta kehade vahelist hõõrdejõudu, peame leidma mooduse rõhumisjõu muut­miseks või muutma kokku puutuvate pindade materjale ja/või nende pinnatöötlust. Tavaliselt vähendab pindade silumine kehade vahel mõjuvat hõõrdejõudu.

Füüsikalist suurust, mis iseloomustab kokku puutuvate materjale ja nende pinnatöötluse mõju hõõr­de­jõule, nimetatakse hõõrdeteguriks.

Hõõrdetegur ei sõltu kokku puutuvate pindade vahelisest survest (rõhumisjõust) ega ka nende pindalast, samuti ei sõltu hõõrdetegur kokku puutuvate kehade kiirusest teineteise suhtes. Hõõrdetegur sõltub sellest millisest materjalist pinnad omavahel kokku puutuvad, milline on nende pindade töötluse aste ning milline kehade vahelise liikumise olemus (paigalseis vs libisemine vs veeremine)

Siinjuures tuleks veel eristada seisuhõõrde- ja liugehõõrdetegurit. Kuna liugehõõrdetegur on alati väiksem kui seisuhõõrdetegur, siis on ka hõõrdejõud teineteise suhtes libisevate kehade vahel väiksem kui seisvatel kehadel. Veeremise korral on hõõrdejõud veelgi väiksem kui libisemisel.